Chéo hóa có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả lũy thừa của một ma trận A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} :

A k = ( P D P − 1 ) k = ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1 = P D k P − 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}

dạng này rất dễ tính toán bởi nó chỉ liên quan đến việc tính lũy thừa của một ma trận chéo. Ví dụ với ma trận A {\displaystyle A} với các giá trị riêng λ = 1 , 1 , 2 {\displaystyle \lambda =1,1,2} ở ví dụ trên ta tính:

A k = P D k P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 2 k ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 − 2 k − 1 + 2 k 2 − 2 k + 1 0 1 0 − 1 + 2 k 1 − 2 k − 1 + 2 k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Tiếp cận này có thể được tổng quát hóa lên với hàm mũ ma trận và các hàm ma trận khác mà có thể được định nghĩa theo chuỗi lũy thừa. Ví dụ, định nghĩa hàm exp ⁡ ( A ) = I + A + 1 2 ! A 2 + 1 3 ! A 3 + ⋯ {\displaystyle \exp(A)=I+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+{\tfrac {1}{3!}}A^{3}+\cdots } , ta có:

exp ⁡ ( A ) = P exp ⁡ ( D ) P − 1 = [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] [ e 1 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 ] [ 1 0 1 1 2 0 0 1 − 1 ] − 1 = [ 2 e − e 2 − e + e 2 2 e − 2 e 2 0 e 0 − e + e 2 e − e 2 − e + 2 e 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\,\exp(D)\,P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Điều này đặc biệt hữu ích trong việc tìm tường minh biểu thức dạng đóng cho các số hạng của các dãy số đệ quy tuyến tính, ví dụ như các số Fibonacci.

Một áp dụng cụ thể

Ví dụ, xét ma trận sau:

M = [ a b − a 0 b ] . {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}

Tính các lũy thừa của M {\displaystyle M} cho thấy một quy luật thú vị:

M 2 = [ a 2 b 2 − a 2 0 b 2 ] , M 3 = [ a 3 b 3 − a 3 0 b 3 ] , M 4 = [ a 4 b 4 − a 4 0 b 4 ] , … {\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }

Hiện tượng trên có thể được giải thích bằng cách việc chéo hóa M {\displaystyle M} . Để thực hiện điều này, ta cần một cơ sở của R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} gồm các vectơ riêng của M {\displaystyle M} . Một cơ sở vectơ riêng như vậy được cho bởi

u = [ 1 0 ] = e 1 , v = [ 1 1 ] = e 1 + e 2 , {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}

trong đó ei ký hiệu cho cơ sở chuẩn tắc của Rn. Phép chuyển cơ sở nghịch đảo được cho bởi

e 1 = u , e 2 = v − u . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}

Tính toán trực tiếp cho thấy

M u = a u , M v = b v . {\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}

Vì vậy, a và b là các giá trị riêng tương ứng với u và v. Bởi tính tuyến tính của phép nhân ma trận ta có

M n u = a n u , M n v = b n v . {\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf {v} .}

Chuyển trở lại cơ sở chuẩn tắc ta có

M n e 1 = M n u = a n e 1 , M n e 2 = M n ( v − u ) = b n v − a n u = ( b n − a n ) e 1 + b n e 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}

Các liên hệ trên được thể hiện dưới dạng ma trận là

M n = [ a n b n − a n 0 b n ] , {\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}

vì thế ta đã giải thích được hiện tượng trên.